[2016년 대화고]

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[2학년(문과) 1학기 중간 미적1]

수렴하는 수열만을 보기에서 고른 것은? [4.3점]

③

ㄱ. [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: cdots], [eqn: 1], [eqn: cdots]

ㄴ. [eqn: left{-n+3right}]

ㄷ. [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 0], [eqn: cdots], [eqn: 1+ LEFT ( -1 RIGHT )^n], [eqn: cdots]

ㄹ. [eqn: left{ 2over n+1 right}]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄹ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄷ, ㄹ

[eqn: lim_x->inf {an^2 +bn +7} over {3n +1} =4]이 성립하도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: a+b]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 [eqn: sum_n=1^inf (2a_n -3)=30], [eqn: sum_n=1^inf (2b_n +3)=18]일 때, [eqn: sum_n=1^inf (a_n + b_n )]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

[eqn: lim_n->inf {3^n+1 -4^n+1 +5^n+1} over {2^n +5^n}]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 2n^2 -3n < na_n <2n^2 +3n]
을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf a_n over 2n+1]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]이 모두 수렴하고 [eqn: lim_n->inf (a_n +b_n )=2],
[eqn: lim_n->inf (a_n -b_n )=1]일 때, [eqn: lim_n->inf (a_n ^2 - b_n^2 )]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

급수 [eqn: sum_n=1^inf {2^n-1 +3^n+1} over 4^n]의 값은 [eqn: q over p]이다. 이때, 두 상수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소이다.) [4.4점]

⑤

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

[eqn: n]이 자연수일 때, 함수 [eqn: f(x)= lim_n->inf {1-x^2n+2} over {x^2n +1]에 대하여
[eqn: f(-1)+f left({1} over {2} right)+f( sqrt { 2})]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: lim_n->inf n( sqrt { 4n^2 +1}-2n)]의 값은? [4.5점]

①

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

수열 [eqn: left{ (x+4)(x^2 -6x+8)^n-1 right]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]값의 합은? [4.5점]

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 10]

급수 [eqn: sum_n=1^inf {(2^a +1)^n } over 4^3n]이 수렴하도록 하는 자연수 [eqn: a]의 개수는? [4.5점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: lim_n->inf na_n =3]일 때, [eqn: lim_n->inf (2n+5)a_n]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: {1} over {1 cdot 3} + {1} over {3 cdot5} + {1} over {5 cdot7} + CDOTS + {1} over {(2n-1)(2n+1)} + CDOTS]의 합은? [4.6점]

①

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: sum_n=1^inf left( na_n - {3n^2 +1} over {n+3} right) =4]일 때,
[eqn: lim_n->inf (a_n^2 +a_n +1)]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n) = {1^2 +2^2 +3^2 + cdots+n^2} over {1+2+3+cdots +n+cdots+2n]일 때,
[eqn: lim_n->inf 2f(n) over n]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

다음 두 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: r]값의 합은? [4.6점]

⑤

[eqn: CIRC] 급수 [eqn: sum_n=1^inf left({r-3}over7 right)^n]이 수렴한다.

[eqn: circ] [eqn: lim_n->inf {r^n+1 -7^n +2}over{r^n +7^n+1 +2^n-1}=- 1over7]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

연립부등식 [eqn: cases { x^2 +y^2 le 4 # 4nx - sqrt { 4n^2 +3}y +1 ge 0]의 해 [eqn: (x,```y)]가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [4.7점]

⑤

① [eqn: pi over4]	② [eqn: pi over2]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: 3over2 pi]	⑤ [eqn: 2pi]

수열 [eqn: left{a_n right]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

위 두 조건을 만족시키는 유리수 중 가장 큰 수부터 차례로 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf sum_k=1^3n a_k = q over p]이다. 이 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소이다.) [4.7점]

[eqn: CIRC] 자연수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: a_n]은 [eqn: {p} over {2 ^{m}} `(p=1,```3,```7)]꼴이다.

[eqn: circ] [eqn: 0 < a_n <1]

④

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= 2n overx]과 직선 [eqn: y= - x over n +3]의 두 교점을 [eqn: {rmA}_n], [eqn: {rmB}_n]이라고 하자. 이때 선분 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n]의 길이를 [eqn: l_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf l_n over 2n]의 값은? [4.7점]

①

① [eqn: 1over2]	② [eqn: sqrt { 2} over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 2]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 중심이 [eqn: (n+1,```n+1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원을 [eqn: C it _{n}]이라 하자. 원점 [eqn: rmO`]에서 원 [eqn: {C}_n]에 그은 두 접선의 기울기의 합을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^inf (a_n -2)]의 값은? [4.7점]

③

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

서술형

그림과 같이 길이가 [eqn: 3]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원을 그리고, 선분 [eqn: rmAB]의 [eqn: 3]등분점을 각각 [eqn: {rmP}_1], [eqn: {rmP}_2]라 하고 선분 [eqn: {rmA} {rmP}_1]을 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원, 선분 [eqn: {rmA}{rmP}_2]를 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원, 선분 [eqn: {rmP}_2rmB]를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원, 선분 [eqn: {rmP}_1rmB]를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 경계로 하여 만든 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]에서 선분 [eqn: rmAB`] 위의 색칠되지 않은 두 선분 [eqn: {rmAP}_1], [eqn: {rmP}_2 rmB]를 각각 지름으로 하는 두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 그림 [eqn: R_2]에서 두 선분 [eqn: rmA{rmP}_1], [eqn: {rmP}_2rmB] 위의 색칠되지 않은 네 선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 네 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 모든 모양의 도형의 둘레의 길이의 합을 [eqn: l_n], 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때 다음 물음에 답하시오. [총 10.0점]

(1) [eqn: 9pi]

(2) [eqn: 3over28 pi]

(1) [eqn: lim_n->inf l_n]을 구하고 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

(2) [eqn: lim_n->inf S_n]을 구하고 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

[2016년 대화고]

[2학년(문과) 1학기 중간 미적1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com